thuvienhoclieu.com
ĐS6.CHUYÊN ĐỀ 4 – ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT
CHỦ ĐỀ 4: CÁC BÀI TOÁN QUY VỀ TÌM ƯCLN VÀ BCNN
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Ước và Bội của một số nguyên
Với
của

và
và

Nếu có số nguyên q sao cho

là ước của

thì ta nói

chia hết cho . Ta còn nói

là bội

.

2. Nhận xét
- Nếu

thì ta nói

chia cho

được

và viết

- Số là bội của mọi số nguyên khác . Số
- Các số

và

không phải là ước của bất kì số nguyên nào.

là ước của mọi số nguyên.

3. Liên hệ phép chia có dư với phép chia hết.
Nếu số tự nhiên

chia cho số tự nhiên

được số dư là

thì số

4. Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó.
Ước chung của các số

được kí hiệu là

5. Bội chung của hai hay nhiều số là bội của tất cả các số đó.
Bội chung của các số

được kí hiệu là:

6. Ước chung lớn nhất. Bội chung nhỏ nhất
- Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó.
- Bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác không trong tập hợp các bội chung của các
số đó.
7. Các tính chất
- Nếu
- Nếu
-

nguyên tố cùng nhau
và

- Nếu

thuvienhoclieu.com

Trang 1

thuvienhoclieu.com
- Nếu
8. Phương pháp giải
- Nếu số tự nhiên
- Nếu

chia cho số tự nhiên

và

được số dư là

mà

chia hết cho tích

với

- Nếu

và

mà a là số nhỏ nhất

- Nếu

và

mà b lớn nhất

PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI
Dạng 1. Bài toán đưa về tìm ƯCLN và BCNN của hai hay nhiều số
I. Phương pháp giải.
* Phương pháp giải bài toán đưa về tìm ƯCLN
- Nếu

,

lớn nhất thì

- Tìm ƯCLN theo ba bước
Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.
Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.
Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó. Tích đó là ƯCLN
phải tìm.
- Kết luận bài toán
* Phương pháp giải bài toán đưa về tìm BCNN
- Nếu

,

nhỏ nhất thì

- Tìm BCNN theo ba bước
Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.
Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng.
Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó. Tích đó là
BCNN phải tìm.
- Kết luận bài toán
thuvienhoclieu.com

Trang 2

thuvienhoclieu.com

II.Bài toán.
Bài 1.Tìm số tự nhiên

lớn nhất biết rằng

Lời giải
Vì

và

lớn nhất nên

Ta có:

Vậy
Bài 2.Tìm số tự nhiên

lớn nhất biết rằng

Lời giải
Vì

và lớn nhất nên

Ta có:

Vậy
Bài 3. Lan có một tấm bìa hình chữ nhật, kích thước

cm và

cm, Lan muốn cắt tấm bìa thành các

mảnh nhỏ hình vuông bằng nhau sao cho tấm bìa được cắt hết không còn thừa mảnh nào,Tính độ dài lớn
nhất cạnh hình vuông?
Lời giải
Gọi độ dài lớn nhất cạnh hình vuông là
Theo bài ra ta có:

và

(cm)

lớn nhất nên

Ta có:

Vậy độ dài lớn nhất cạnh hình vuông là

.

thuvienhoclieu.com

Trang 3

thuvienhoclieu.com
Bài 4. Phần thưởng cho học sinh của một lớp học gồm
vở,

bút chì,

nhãn vở. Có thể chia được

nhiều nhất thành bao nhiêu phần thưởng như nhau, mỗi phần thưởng gồm bao nhiêu vở, bút chì, nhãn vở?
Lời giải
Gọi số phần thưởng được chia là

(phần thưởng),

Theo bài ra ta có:

và

lớn nhất nên

Ta có:

Vậy có thể chia được nhiều nhất

phần thưởng

Mỗi phần thưởng có số vở là

( vở)

Mỗi phần thưởng có số bút chì là

( bút chì)

Mỗi phần thưởng có số nhãn vở là

( nhãn vở)

Bài 5. Hùng có một tấm bìa hình chữ nhật, kích thước

cm và

cm, Hùng muốn cắt tấm bìa thành các

mảnh nhỏ hình vuông bằng nhau sao cho tấm bìa được cắt hết không còn thừa mảnh nào,Tính độ dài lớn
nhất cạnh hình vuông?
Lời giải
Gọi độ dài lớn nhất cạnh hình vuông là
Theo bài ra ta có:

và

(cm)

lớn nhất nên

Ta có:

Vậy độ dài lớn nhất cạnh hình vuông là
Bài 6. Một đội y tế có

bác sĩ và

y tá. Có thể chia đội y tế đó nhiều nhất thành mấy tổ để các bác sĩ

cũng như các y tá được chia đều vào mỗi tổ ?
Lời giải
Gọi số tổ được chia là
Theo bài ra ta có:

(tổ),
và

lớn nhất nên
thuvienhoclieu.com

Trang 4

thuvienhoclieu.com
Ta có:

Vậy có thể chia được nhiều nhất
Bài 7. Khối lớp

có

tổ.

học sinh, khối lớp

có

học sinh, khối lớp

có

học sinh. Trong một buổi

chào cờ học sinh cả ba khối xếp thành các hàng dọc như nhau. Hỏi có thể xếp nhiều nhất thành bao nhiêu
hàng dọc để mỗi khối đều không có ai lẻ hàng ?
Lời giải
Gọi số hàng dọc được xếp là

( hàng ),

Theo bài ra ta có:

và

lớn nhất nên

Ta có:

Vậy có thể xếp được nhiều nhất

hàng dọc.

Bài 8.Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khác

biết rằng

Lời giải
Vì

và

nhỏ nhất khác

nên

Ta có:

Vậy
Bài 9. Tìm số tự nhiên

nhỏ nhất khác

biết rằng

chia hết cho

và

chia hết cho

.

Lời giải
Vì

và

nhỏ nhất khác

nên

Ta có:
thuvienhoclieu.com

Trang 5

thuvienhoclieu.com

Vậy
Bài 10. Tìm số tự nhiên

nhỏ nhất khác

biết rằng

chia hết cho

và

Lời giải
Vì

và

nhỏ nhất khác

nên

Ta có:

Vậy
Bài 11. Hai bạn Tùng và Hải thường đến thư viện đọc sách, Tùng cứ

ngày đến thư viện một lần, Hải

ngày một lần. Lần đầu cả hai bạn cùng đến thư viện vào ngày. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu ngày nữa thì hai
bạn lại cùng đến thư viện?
Lời giải
Gọi số ngày ít nhất để hai bạn cùng đến thư viện là
Vì

và

nhỏ nhất khác

( ngày ),

nên

Ta có:

Vậy sau

ngày hai bạn lại cùng đến thư viện.

Bài 12. Hai bạn An và Bách cùng trực nhật, An cứ
Lần đầu cả hai bạn cùng trực nhật vào

ngày lại trực nhật còn Bách

ngày lại trực nhật.

ngày. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu ngày nữa thì hai bạn lại cùng trực

nhật?
Lời giải
Gọi số ngày ít nhất để hai bạn cùng trực nhật là
Vì

và

nhỏ nhất khác

( ngày ),

nên
thuvienhoclieu.com

Trang 6

thuvienhoclieu.com
Ta có:

Vậy sau

ngày hai bạn lại cùng trực nhật.

Bài 13. Hai bạn Minh và Nhâm cùng trực nhật, Minh cứ
nhật. Lần đầu cả hai bạn cùng trực nhật vào

ngày lại trực nhật còn Nhâm

ngày lại trực

ngày. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu ngày nữa thì hai bạn lại

cùng trực nhật?
Lời giải
Gọi số ngày ít nhất để hai bạn cùng trực nhật là
Vì

và

nhỏ nhất khác

( ngày ),

nên

Ta có:

Vậy sau 36 ngày hai bạn lại cùng trực nhật.
Bài 14. Ba con tàu cập bến theo cách sau: Tàu I cứ
một lần, tàu III cứ

ngày cập bến một lần, tàu II cứ

ngày cập bến

ngày cập bến một lần. Lần đầu cả ba tàu cùng cập bến vào một ngày. Hỏi sau ít nhất

bao nhiêu ngày cả ba tàu lại cùng cập bến ?
Lời giải
Gọi số ngày ít nhất để ba tàu lại cùng cập bến là
Vì

và

( ngày ),

nhỏ nhất khác 0 nên

Ta có:

Vậy sau

ngày ba tàu lại cùng cập bến.

Bài 15. : Ba ô tô chở khách cùng khởi hành lúc
nhất quay về bến sau

phút và sau

sáng từ

bến xe đi theo ba hướng khác nhau, xe thứ

phút lại đi, xe thứ hai quay về bến sau
thuvienhoclieu.com

phút và lại đi sau
Trang 7

phút, xe thứ ba quay về bến sau

thuvienhoclieu.com
phút và sau phút lại đi, hãy tính khoảng thời gian ngắn nhất để

cùng xuất phát lần thứ hai trong ngày và đó là lúc mấy giờ?
Lời giải.
Đổi

phút =

phút

Gọi thời gian ngắn nhất để ba xe cùng xuất lần thứ
Thời gian xe thứ nhất đi chuyến thứ

là

Thời gian xe thứ hai đi chuyến thứ

là

Thời gian xe thứ ba đi chuyến thứ

là

Vì

và

trong ngày là

nhỏ nhất khác

( phút ),

( phút)
( phút)
( phút)
nên

Ta có:

( phút)
Vậy sau

(giờ)

giờ thì ba xe lại cùng xuất phát lần thứ

. Lúc đó là

trưa.

Dạng 2. Bài toán đưa về tìm BCNN của hai hay nhiều số thỏa mãn điều kiện cho trước.
I. Phương pháp giải.
– Phân tích đề bài, suy luận để đưa về việc tìm bội chung của hai hay nhiều số cho trước.
Nếu
Nếu

chia cho

dư

,

chia cho

dư

– Tìm BCNN của các số đó.
– Tìm BC của các số là các bội của BCNN này .
– Chọn trong số đó các bội thỏa mãn điều kiện đã cho.
II. Bài toán.
Bài 1. Tìm số tự nhiên

biết rằng

và

Lời giải
Vì

nên

Ta có:

thuvienhoclieu.com

Trang 8

xe

thuvienhoclieu.com

Vì

nên
Vậy

Bài 2. Tìm số tự nhiên biết rằng

và

Lời giải
Vì

nên

Ta có:

Vì

nên
Vậy

Bài 3. Một số sách khi xếp thành từng bó
sách trong khoảng

đến

cuốn,

cuốn,

cuốn đều vừa đủ. Tính số sách đó biết số

.

Lời giải
Gọi số sách cần tìm là ( cuốn) ,
Vì số sách khi xếp thành từng bó

,
cuốn,

cuốn,

cuốn đều vừa đủ nên

Ta có:

Vì

nên
Vậy số sách cần tìm là

cuốn.

thuvienhoclieu.com

Trang 9

Bài 4. Một trường tổ chức cho khoảng
hoặc

thuvienhoclieu.com
đến
học sinh đi tham quan. Tính số học sinh biết nếu xếp

học sinh lên xe thì vừa đủ.

Lời giải
Gọi số học sinh cần tìm là
Vì xếp

hoặc

( học sinh) ,

,

học sinh lên xe thì vừa đủ nên

Ta có:

Vì

nên
Vậy trường đó có

học sinh.

Bài 5. Một trường tổ chức cho khoảng
người hoặc

đến

học sinh đi tham quan. Tính số học sinh biết nếu xếp

người lên xe ô tô thì vừa đủ.

Lời giải
Gọi số học sinh của trường là:
Theo bài ta có:
Vì
Ta có:

Vậy số học sinh của trường đó là
Bài 6. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có ba chữ số chia cho

có số dư lần lượt

.

Lời giải
Gọi số tự nhiên cần tìm là
Vì

chia cho

,

,

có số dư lần lượt

nên

Ta có:
thuvienhoclieu.com

Trang 10

thuvienhoclieu.com

Vì

nên

và x nhỏ nhất

Vậy số cần tìm là 170
Bài 7. Tìm số tự nhiên có ba chữ số, sao cho chia nó cho

có số dư lần lượt

và

.

Lời giải
Gọi số tự nhiên cần tìm là
Vì

chia cho

Vì

,

,

có số dư lần lượt

và

nên

hoặc

.

nên

Vậy số cần tìm là
Bài 8. Tìm số tự nhiên

lớn nhất có ba chữ số, sao cho

chia cho

thì dư

, chia cho

thì dư

Lời giải
Vì

chia cho

thì dư

, chia cho

thì dư

nên

với

Vì

là số tự nhiên lớn nhất có ba chữ số nên
thuvienhoclieu.com

Trang 11

.

thuvienhoclieu.com
Vậy
Bài 9. Tìm số tự nhiên nhỏ hơn

, sao cho chia nó cho

; cho

có số dư lần lượt

và

Lời giải
Gọi số tự nhiên cần tìm là
Vì

chia cho

;

,

,

có số dư lần lượt

và

nên

với

Ta có:

Vì

nên

Vậy
Bài 10. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất chia cho

, cho

cho

có số dư theo thứ tự là

Lời giải
Gọi số tự nhiên cần tìm là: a (

)

Theo bài ta có:
Vì a nhỏ nhất

Vậy số tự nhiên cần tìm là
Bài 11. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất chia cho

, cho

cho

có số dư theo thứ tự là

Lời giải
Gọi số tự nhiên cần tìm là

,
thuvienhoclieu.com

Trang 12

thuvienhoclieu.com
Vì

chia cho , cho

cho

có số dư theo thứ tự là

nên

với

mà

nhỏ nhất

Vậy
Bài 12. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất chia cho dư

, chia cho

dư

chia cho

dư

và chia hết cho

.
Lời giải
Gọi số tự nhiên cần tìm là
Vì

chia cho dư

,

, chia cho

dư

chia cho

dư

nên

Ta có:

Vì

nhỏ nhất,
Vậy

chia hết cho

nên

= 598.

= 598

thuvienhoclieu.com

Trang 13

thuvienhoclieu.com
Bài 13. Một đội thiếu niên khi xếp hàng
khoảng

đến

đều thừa

người, Tính số đội viên biết số đó nằm trong

?

Lời giải
Gọi số đội viên cần tìm là

( đội viên) ,

Đội thiếu niên khi xếp hàng

Vì

,

đều thừa

người nên

chia cho

đều dư

nên
Vậy số đội viên là

Bài 14. Số học sinh khối
đều thừa

đội viên
của một trường THCS trong khoảng từ

đến

, khi xếp hàng

và

học sinh. Tính số học sinh của trường đó.

Lời giải
Gọi số học sinh của trường đó là

( học sinh),

Khi xếp hàng

học sinh nên

đều thừa

,
chia cho

đều dư

Ta có:

Vì

nên
Vậy số học sinh của trường đó là

học sinh.

Bài 15. Một trường học có số lượng học sinh không quá
Nhưng khi xếp hàng

Khi xếp hàng

thì đều dư

thì vừa đủ. Tính số học sinh của trường đó.

Lời giải
thuvienhoclieu.com

Trang 14

.

thuvienhoclieu.com
Gọi số học sinh của trường đó là: n (

)

Theo bài ra ta có:
Lại có:

Mà

Vậy số học sinh của trường là

học sinh.

Bài 16. Một buổi tập đồng diễn thể dục có khoảng từ
xếp

đến

hàng thì thấy lẻ người, Khi cho đoàn xếp hàng

người tham gia. Khi tổng chỉ huy cho
thì vừa vặn không thừa người nào. Hỏi số

người tham gia tập đồng diễn là bao nhiêu ?
Lời giải
Gọi số người tham gia tập đồng diễn là
Khi tổng chỉ huy cho xếp

( người),

,

hàng thì thấy lẻ người

Ta có:

Vì

và

chia hết cho

nên

Vậy số người tham gia đồng diễn là
Bài 17. Một khối học sinh khi xếp hàng
học sinh chưa đến

người
đều thiếu người nhưng xếp hàng

thì vừa đủ, biết số

. Tính số học sinh của khối đó ?

Lời giải
thuvienhoclieu.com

Trang 15

thuvienhoclieu.com
Gọi số học sinh cần tìm là ( học sinh),
Một khối học sinh khi xếp hàng

Khối học sinh xếp hàng

,
đều thiếu

thì vừa đủ nên

người nên

chia hết cho

và

nên

Vậy số học sinh của khối đó là
Bài 18. Số học sinh tham gia nghi thức đội là một số có ba chữ số lớn hơn
em, nếu xếp hàng

thì thiếu

em và xếp hàng

thì thiếu

Nếu xếp hàng

thì dư

em. Hỏi có tất cả bao nhiêu học sinh

tham gia?
Lời giải
Gọi số học sinh tham gia nghi thức đội là
Nếu xếp hàng

thì dư

( học sinh),

em, nếu xếp hàng

thì thiếu

,
em và xếp hàng

thì thiếu

em nên

với

Ta có:

thuvienhoclieu.com

Trang 16

thuvienhoclieu.com

Vì

nên
Vậy số học sinh tham gia nghi thức đội là

em

Bài 19. Người ta đếm số trứng trong một rổ. Nếu đếm theo từng chục cũng như theo tá hoặc theo từng
quả thì lần nào cũng dư quả. Tính số trứng trong rổ, biết rằng số trứng đó lớn hơn

và nhỏ hơn

quả.
Lời giải
Gọi số trứng trong rổ là n (

)

Ta có:

Theo (1)
Vậy số trứng trong rổ là

quả

Bài 20. Một người bán năm giỏ xoài và cam. Mỗi giỏ chỉ đựng một loại quả với số lượng là:
kg;

kg;

kg;

kg. Sau khi bán một giỏ cam thì số lượng xoài còn lại gấp ba lần số lượng cam còn lại.

Hãy cho biết giỏ nào đựng cam, giỏ nào đựng xoài ?
Lời giải
Tổng số xoài và cam lúc đầu:
Vì số xoài còn lại gấp ba lần số cam còn lại nên tổng số xoài và cam còn lại là số chia hết cho
chia cho

dư

kg;

nên giỏ cam bán đi có khối lượng chia cho

Trong các số

chỉ có

Vậy giỏ cam bán đi là giỏ

kg.

chia cho

dư

dư

.

.

Số xoài và cam còn lại:
Số cam còn lại:
Vậy: các giỏ cam là giỏ đựng
Các giỏ xoài là giỏ đựng

kg;

kg ;
kg;

kg .
kg.

thuvienhoclieu.com

Trang 17

, mà

Bài 21. Một số tự nhiên chia cho

dư

thuvienhoclieu.com
, chia cho
dư . Nếu đem số đó chia cho

thì dư bao

nhiêu?
Lời giải
Gọi số đó là a
Vì a chia cho

dư

, chia cho

dư

mà ƯCLN(7, 13) = 1 nên

Vậy a chia cho

dư

.

Bài 22. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất, biết rằng số đó khi chia cho
thì dư

cho

cho

cho

đều dư là

còn chia cho

.

Lời giải
Gọi số tự nhiên cần tìm là
Khi chia

Nên

cho

cho

cho

cho

đều dư là

nhận các giá trị

Mặt khác

là số nhỏ nhất chia cho
(vì

thì

thì dư tức là

là số nhỏ nhất chia hết cho 7

không chia hết cho

).

Vậy số cần tìm là
Bài 23. Hai lớp 6A; 6B cùng thu nhặt một số giấy vụn bằng nhau. Lớp 6A có bạn thu được
mỗi bạn thu được

kg. Lớp 6B có

bạn thu được

kg còn lại mỗi bạn thu được

sinh mỗi lớp biết rằng số giấy mỗi lớp thu được trong khoảng

kg đến

kg. Tính số học

kg.

Lời giải
Gọi số giấy mỗi lớp thu được là
Do đó

và

và

Số học sinh lớp 6A là:

(học sinh)

Số học sinh lớp 6B là:

(học sinh)

Vậy lớp 6A có
Lớp 6B có

học sinh
học sinh.

thuvienhoclieu.com

kg còn lại

Trang 18

thuvienhoclieu.com
Bài 24. Số học sinh khối
nếu xếp hàng

của một trường chưa đến

bạn, biết khi xếp hàng

thì không dư. Tính số học sinh khối

đều dư

nhưng

của trường đó.

Lời giải
Gọi số học sinh là
Vì số học sinh khi xếp hàng

đều dư

Mà
Ta có bảng sau:
1

2

3

4

5

6

7

63

123

183

243

303

363

423

Vì số học sinh chưa đến

bạn và khi xếp hàng

Trong các giá trị trên, chỉ có
Vậy số học sinh cần tìm là

thì không dư nên

và

thỏa mãn bài toán
học sinh.

Dạng 3. Bài toán đưa về tìm ƯCLN của hai hay nhiều số thỏa mãn điều kiện cho trước.
I. Phương pháp giải.
– Phân tích đề bài, suy luận để đưa về việc tìm ước chung của hai hay nhiều số cho trước.
Nếu

Nếu

chia

cho dư

,

chia cho dư

– Tìm ƯCLN của các số đó.
– Tìm ƯC của các số là các ước của ƯCLN này .
– Chọn trong số đó các ước thỏa mãn điều kiện đã cho.
II. Bài toán.
Bài 1.Tìm số tự nhiên

biết rằng khi chia

cho

thì dư

và khi chia

cho

cũng dư

Lời giải
Vì chia

cho

thì dư

và khi chia

cho

cũng dư

nên

và
và

thuvienhoclieu.com

Trang 19

thuvienhoclieu.com
Ta có :

Vì

nên
Vậy

Bài 2. Tìm số tự nhiên

biết rằng

chia

dư

và

chia

dư

Lời giải
Vì

chia

dư

và

chia

dư

nên

và
và

Ta có :

Vì

nên
Vậy

Bài 3. Tìm số tự nhiên

biết

chia

dư

và

chia

dư

Lời giải
Vì

chia

dư

và

chia

dư

nên

và
và

thuvienhoclieu.com

Trang 20

thuvienhoclieu.com
Ta có :

Vì

nên

Vậy
Bài 4. Tìm số tự nhiên

lớn nhất biết rằng chia

cho

thì dư

còn chia

cho

thì dư

Lời giải
Vì chia

cho

thì dư

còn chia

cho

thì dư

nên

và
và

Ta có :

Vì

,

lớn nhất nên

Vậy
Bài 5. Tìm số tự nhiên biết rằng

chia

dư

chia

dư

Lời giải
Vì

chia

dư

chia

dư

nên

và
và

thuvienhoclieu.com

Trang 21

thuvienhoclieu.com
Ta có :

Vì

nên
Vậy

Bài 6. Tìm số tự nhiên biết rằng

chia dư

và

chia

dư

Lời giải
Vì

chia dư

và

chia

dư

nên

và
và

Ta có :

Vì

nên
Vậy

Bài 7. Tìm số tự nhiên

biết rằng

chia

dư

và

chia

dư

Lời giải
Vì

chia

dư

và

chia

dư

nên

và
và

thuvienhoclieu.com

Trang 22

thuvienhoclieu.com
Ta có :

Vì

nên

Vậy
Bài 8. Tìm số tự nhiên

biết rằng khi chia

cho

thì dư

còn khi chia

cho

thì dư

Lời giải
Vì chia

cho

thì dư

còn khi chia

cho

thì dư

nên

và
và

Ta có :

Vì

nên
Vậy

Bài 9. Nếu ta chia

số

và

cho cùng một số thì sẽ được số dư tương ứng là

và

chia là bao nhiêu?
Lời giải
Gọi số chia cần tìm là
Vì

chia

dư

và

chia

dư

nên

và
và

thuvienhoclieu.com

Trang 23

Hỏi số

thuvienhoclieu.com

Vì

nên
Vậy

Bài 10. Tìm số tự nhiên

biết rằng

chia

thì dư

còn

chia cho

thì dư

Lời giải
Vì

chia dư

và

chia

dư

nên

và
và

Ta có :

Vì

nên
Vậy

Bài 11. Tìm số tự nhiên

biết rằng khi chia

và

cho

thì có số dư lần lượt là

và

Lời giải
Vì

chia

dư

và

chia

dư

nên

và
và

Ta có :

thuvienhoclieu.com

Trang 24

thuvienhoclieu.com

Vì

nên
Vậy

Bài 12. Tìm số tự nhiên

biết rằng

chia cho

dư

còn

chia cho

dư

Lời giải
Vì

chia

dư

và

chia

dư

nên

biết rằng chia

cho

và
và

Ta có :

Vì

nên
Vậy

Bài 13. Tìm số tự nhiên

thì dư

còn chia

cho

thì dư

Lời giải
Vì chia

cho

thì dư

còn chia

cho

thì dư

nên

và
và

Ta có :

thuvienhoclieu.com

Trang 25

thuvienhoclieu.com
Vì

nên
Vậy

Bài 14. Tìm số tự nhiên

lớn nhất sao cho khi chia

cho

ta được

số dư bằng nhau

Lời giải
Vì ba số

chia

có cùng số dư nên hiệu

mà

số chia hết cho

lớn nhất

Ta có :

Vậy
Bài 15. Tìm số tự nhiên a biết

chia a có cùng số dư là

Lời giải
Vì

chia dư

và

chia a dư

nên

và
và

Ta có :

Vì

nên

Vậy
thuvienhoclieu.com

Trang 26

Bài 16. Một số chia cho dư

thuvienhoclieu.com
chia cho
dư
chia cho
dư

. Hỏi số đó chia cho

dư bao

nhiêu?
Lời giải
Gọi số đã cho là A. Theo bài ra ta có:
Mặt khác:
Như vậy

đồng thời chia hết cho

,

và

.

Nhưng ƯCLN(7, 17, 23) = 1

Do

nên

là số dư của phép chia số

Bài 17. Cho

là các số tự nhiên khác

cho

sao cho

là số tự nhiên. Gọi

là ƯCLN của

Chứng minh rằng:
Lời giải
Ta có :
với

đpcm
PHẦN III. BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG.
Bài 1: Tìm số tự nhiên

nhỏ nhất sao cho khi chia số đó cho

dư

, chia cho

dư và chia cho

( HSG huyện Quế Võ – Năm 2020 – 2021)
Lời giải
Theo đề bài số cần tìm là
dư

chia hết cho

dư

chia hết cho

dư
Suy ra

, theo đề ra ta có:
(Do
(Do

chia hết cho
chia hết cho các số

)
)

(Do

)

mà n là số tự nhiên nhỏ nhất nên

thuvienhoclieu.com

Trang 27

dư

thuvienhoclieu.com
Vậy
Bài 2: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi
chia cho

chia cho

dư ,

chia cho

dư ,

chia cho

dư

,

dư

( HSG CƯM'GAR – Năm 2020 – 2021)
Lời giải
Theo đề bài số cần tìm là

, theo đề ra ta có:

dư

chia hết cho

(Do

dư

chia hết cho

(Do

)

dư

chia hết cho

(Do

)

dư

chia hết cho

(Do

)

Suy ra

Mà

cùng chia hết cho

mà

)

là số nhỏ nhất nên

đôi một nguyên tố cùng nhau

Do vậy:
Vậy
Bài 3: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi số đó chia cho
chia cho

dư

dư ; chia cho

dư

; chia cho

dư

;

. ( HSG Quảng Trạch – Năm 2020 – 2021)

Lời giải
Gọi số cần tìm là

, theo đề ra ta có:

dư
dư
dư
dư
Suy ra

cùng chia hết cho

mà

là số nhỏ nhất nên

Vậy
Bài 4: Tìm số tự nhiên lớn nhất có ba chữ số, sao cho khi chia số đó cho , cho
được các số dư lần lượt là

cho

cho

. ( HSG Nho Quan – Năm 2020 – 2021)
thuvienhoclieu.com

Trang 28

cho

ta

thuvienhoclieu.com

Lời giải
Gọi số cần tìm là
dư

(

,

)
chia hết cho

(Do

)

dư

chia hết cho

(Do

)

dư

chia hết cho

(Do

)

dư

chia hết cho

(Do

dư

chia hết cho

(Do

Suy ra

)
)

cùng chia hết cho

Ta có:

Vì a là số tự nhiên lớn nhất có ba chữ số nên
Vậy
Bài 5: Số học sinh của trường THCS A nếu xếp mỗi hàng
hàng

thì thừa ra

học sinh, nếu xếp mỗi hàng

học sinh thì thừa ra

thì thừa ra

học sinh, nếu xếp mỗi

học sinh, nếu xếp mỗi hàng

đủ . Hỏi trường THCS A có bao nhiêu học sinh tất cả , biết số học sinh của trường đó lớn hơn
hơn

. ( OLYMPIC Toán 6 – Năm 2020 – 2021)

Lời giải
Gọi số học sinh của trường THCS A là

(

Theo đề ra ta có:
Xếp mỗi hàng

học sinh thì vừa đủ nên

Xếp mỗi hàng

học sinh thừa học sinh nên
(vì

Xếp mỗi hàng

học sinh thì thừa học sinh nên

, suy ra

dư

hay

dư

, suy ra

dư

hay

)

học sinh thì thừa học sinh nên
(vì

dư

khi đó vì:

)

(vì
xếp mỗi hàng

, suy ra đặt

dư

, suy ra

dư 8 hay

)

Do đó

thuvienhoclieu.com

Trang 29

thì vừa
và nhỏ

thuvienhoclieu.com
Vì

nên

Lập bảng:
900
k

47 (Thỏa mãn)
(loại)

(loại)

(học sinh)
Vậy số học sinh của trường THCS A là
Bài 6: Tìm số tự nhiên

nhỏ nhất biết

học sinh.
chia cho

dư

,

chia cho

dư

.

( HSG Kim Sơn – Năm 2020 – 2021).
Lời giải
Gọi số cần tìm là

, theo đề ra ta có:
(Vì

)

(Vì

)

Vì là số tự nhiên nhỏ nhất nên:

Vậy
Bài 7: Tìm số tự nhiên

, biết rằng

chia cho thì dư

, còn

chia cho

thì dư

( Năng khiếu toán 6 lần 1 – Năm 2020 – 2021)
Lời giải
Gọi số cần tìm là

Vì

, theo đề ra ta có:

nên

Vậy
Bài 8: Tìm số tự nhiên
trong khoảng từ

đến

biết rằng

chia cho

dư

;

chia cho

dư ,

chia hết cho

và

.

( HSG Nam Đàn – Năm 2020 – 2021)
Lời giải
Gọi số cần tìm là

, theo đề ra ta có:
thuvienhoclieu.com

Trang 30

nằm

thuvienhoclieu.com
nên
chia hết cho

dư
dư

nên
(Do

Suy ra

chia hết cho

(Do
(Do

)
)

)

cùng chia hết cho

Nên
Vì

do đó

Vậy
Bài 9: Tìm số tự nhiên

, biết

chia cho

dư

, còn

chia cho

dư

.

( OLYMPIC toán 6 Quốc Oai – Năm 2020 – 2021)
Lời giải
Gọi số cần tìm là

Vì

, theo đề ra ta có:

nên

Bài 10: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất biết khi chia số đó cho

lần lượt được các số dư là

(OLYMPIC toán 6 Quốc Oai – Năm 2020 – 2021)
Lời giải
Gọi số cần tìm là ,

, theo đề ra ta có:

dư

chia hết cho

(Do

)

dư

chia hết cho

(Do

)

dư

chia hết cho

(Do

)

Vì là số tự nhiên nhỏ nhất nên:

Vậy
Bài 11: Tìm số tự nhiên lớn nhất có

chữ số, sao cho khi chia số đó cho

dư

và chia số đó cho

.
( HSG Lục Nam – Năm 2020 – 2021)
Lời giải
thuvienhoclieu.com

Trang 31

dư

thuvienhoclieu.com
Gọi số tự nhiên cần tìm là
Vì

chia cho

dư

,

, chia cho

dư

nên

với

Vì

là số tự nhiên lớn nhất có

chữ số nên

Vậy số cần tìm là
Bài 12: Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng khi chia số đó cho các số

và

thì được các số dư

lần lượt là
( HSG Bá Thước – Năm 2020 – 2021)
Lời giải
Gọi số tự nhiên cần tìm là
Vì

,

chia cho các số

và

thì được các số dư lần lượt là

là số tự nhiên có

chữ số nên

nên

Ta có:

Vì

Vậy số cần tìm là
Bài 13: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất biết rằng khi chia số đó cho các số

được số dư lần lượt là

(HSG Gia Bình – Năm 2020 – 2021)
Lời giải
Gọi số tự nhiên cần tìm là

,
thuvienhoclieu.com

Trang 32

thuvienhoclieu.com
Vì

chia cho cho các số

được số dư lần lượt là

( Với

nên

)

mà

nhỏ nhất

Vậy số cần tìm là
Bài 14: Số học sinh khối
số học sinh khối

của một trường khi xếp hàng

chưa đến

em. Hỏi khối

, hàng

hàng

đều thừa

học sinh. Biết

của trường đó có bao nhiêu học sinh ?

( HSG Lục Ngạn – Năm 2020 – 2021)
Lời giải
Gọi số học sinh khối
Nếu xếp hàng

của trường đó là

, hàng

hàng

( học sinh),

đều thừa

,

học sinh nên

Ta có:

Vì

nên
Vậy số học sinh khối

Bài 15: Tìm số tự nhiên

của trường đó là
nhỏ nhất sao cho

em
chia cho

, cho

cho

được số dư theo thứ tự là

( HSG Thái Thụy – Năm 2019 – 2020)
thuvienhoclieu.com

Trang 33

.

thuvienhoclieu.com

Lời giải
Vì

chia cho

, cho

cho

được số dư theo thứ tự là

( Với

nên

)

mà

nhỏ nhất

Vậy
Bài 16: Tìm số tự nhiên có ba chữ số biết nó chia cho

thì dư

và chia cho

thì dư

.

( HSG Tiền Hải – Năm 2018 – 2019)
Lời giải
Gọi số tự nhiên cần tìm là

,

Vì

và chia cho

chia cho

Vì

thì dư

,
thì dư

nên

nên

Vậy số cần tìm là
Bài 17: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất, biết rằng khi chia số đó cho dư , chia cho dư

và chia cho dư

( HSG Nhơn Trạch – Năm 2018 – 2019)
Lời giải
Gọi số tự nhiên cần tìm là
Vì

,

chia cho dư , chia cho dư

,

nhỏ nhất.
và chia cho dư

nên

thuvienhoclieu.com

Trang 34

.

thuvienhoclieu.com

( Với

)

mà

nhỏ nhất

Vậy số cần tìm là
Bài 18: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có tính chất sau:
Số đó chia cho

dư

chia cho

thì dư

chia cho

thì dư

, chia cho

thì dư

chia cho

thì dư

, chia cho

thì dư

và chia hết cho

( HSG Sơn Tịnh – Năm 2018 – 2019)
Lời giải
Gọi số tự nhiên cần tìm là
Vì

chia cho

Mà

dư

,

chia cho

nhỏ nhất.
thì dư

nên

, x nhỏ nhất nên

Vậy số cần tìm là
Bài 19: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất biết rằng số đó chia cho

dư , chia cho

dư

chia cho

( HSG Kiến Xương – Năm 2012 – 2013)
Lời giải
Gọi số tự nhiên cần tìm là
Vì

chia cho

,

dư , chia cho

,
dư

nhỏ nhất.
chia cho

dư

nên

thuvienhoclieu.com

Trang 35

dư

thuvienhoclieu.com

( Với

)

mà

nhỏ nhất

Vậy số cần tìm là
Bài 20: Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng khi chia số đó cho các số

thì được số dư lần lượt

là
( HSG Kiến Xương – Năm 2011 – 2012)
Lời giải
Gọi số tự nhiên cần tìm là
Vì

,

chia cho các số

Mà

thì được số dư lần lượt là

nên

nên

Vậy số cần tìm là
Bài 21: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia cho

dư

chia cho

dư

và chia cho

( HSG Phú Lương – Năm 2020 – 2021)
Lời giải
Gọi số tự nhiên cần tìm là
Vì

chia cho

dư

,

,

chia cho

dư

nhỏ nhất.
và chia cho

dư

nên

thuvienhoclieu.com

Trang 36

dư

.

thuvienhoclieu.com

( Với

)

mà

nhỏ nhất

Vậy số cần tìm là
Bài 22: Có

quyển vở và

cái bút được chia thành các phần thưởng đều nhau. Hỏi có thể chia được

thành bao nhiêu phần thưởng để số quyển vở và số bút trong mỗi phần thưởng là bé nhất.
( HSG Anh Sơn – Năm 2018 – 2019)
Lời giải
Gọi số phần thưởng được chia là
Theo bài ra ta có:

(phần thưởng),
nên

Ta có:

Vì số quyển vở và số bút trong mỗi phần thưởng là bé nhất nên
Vậy có thể chia được

phần thưởng

Mỗi phần thưởng có số vở là

( vở)

Mỗi phần thưởng có số bút là

( bút )

Bài 23: Trong kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh gồm ba môn Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, số học sinh tham gia
như sau: Ngữ văn có

học sinh; Toán có

học sinh và Tiếng Anh có

học sinh. Trong buổi lễ

tổng kết, các bạn tham gia thi được phân công đứng thành hàng dọc sao cho mỗi hàng có số bạn thi mỗi
môn bằng nhau. Hỏi có thể phân công học sinh đứng thành bao nhiêu hàng để số học sinh mỗi môn trong
một hàng ít nhất.
( HSG Bắc Ninh – Năm 2020 – 2021)
thuvienhoclieu.com

Trang 37

thuvienhoclieu.com

Lời giải
Gọi số hàng được phân công là

(hàng),

Theo bài ra ta có:

nên

Ta có:

Vì số học sinh mỗi môn trong một hàng ít nhất nên
Vậy có thể phân công được

hàng

******************** **********************

thuvienhoclieu.com

Trang 38